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de Geraldo Maia Campos 20. Apêndice Demonstração matemática de que o desvio-padrão é o ponto de inflexão da curva normal. Seja a equação matemática da curva normal (ou de Gauss): y = 1/s . (2p)½ e -½[(x-m) / s]² Para simplificar essa expressão, façamos: k = 1/s . (2p)½ e u = (x-m) / s de modo que a expressão se reduz a: y = k . exp (-½ . u²) Assim, a derivada primeira dessa função y(u) será: dy / du = k . exp (-½ . u²) . (-u) na qual du / dx = -u Por sua vez, a derivada segunda será: dy' / du² = -u . k . eu . (-u) + k . eu . (-1) \ dy' / du² = k . eu . (eu -1) Igualando-se a derivada segunda a zero, a fim de determinar o ponto de inflexão da curva, temos: k . eu . (eu-1) = 0 \ u² -1 = 0 / k . eu \ u² -1 = 0 \ u² = 1 \ u = Ö1 \ u = ±1 Substituindo-se u pelo seu valor u = (x-m) / s , temos: (x-m) / s = ±1 \ x-m = ±1 . s \ x-m = ±s \ x = m ± s Ou seja, as duas inflexões da curva normal ocorrem quando x = à média ± 1 desvio-padrão, c.q.d. Demonstração matemática de que a média da distribuição normal é o ponto máximo da curva normal. Seja a equação matemática da curva normal (ou de Gauss): y = 1/s . (2p)½ e -½[(x-m) / s]² Para simplificar essa expressão, façamos: k = 1/s . (2p)½ e u = (x-m) / s de modo que a expressão se reduz a: y = k . exp (-½ . u²) Assim, a derivada primeira dessa função y(u) será: dy / du = k . exp (-½ . u²) . (-u) na qual du / dx = -u Por sua vez, a derivada segunda será: dy' / du² = -u . k . eu . (-u) + k . eu . (-1) \ dy' / du² = k . eu (u²-1) Igualando-se a derivada primeira a zero, a fim de determinar o ponto máximo (ou mínimo) da curva, temos: k . exp (-½ . u²) . (-u) = 0 \ -u = 0 / k / exp (-½ . u²) \ -u = 0 Substituindo-se u pelo seu valor u = (x-m) / s , temos: (x-m) / s = 0 \ (x-m) = 0 . s \ x-m = 0 \ x = m Substituindo esse valor na equação da derivada segunda, temos: dy' / du² = k . eu . (u²-1) Como u = (x-m) / s = (m-m) / s = 0 / m = 0, u2 será também = 0 E dy' / du² = k . e0 > 0, uma vez que e0 = 1 e k = 1 / m (2p)½ > 0 \ dy' / du² = k . eu . (u²-1)
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dy' / du² = k . 1 . (0-1)
Ou seja, como o valor da derivada segunda é negativo (dy' / du² < 0), a curva tem um ponto máximo, que ocorre quando x é igual à média, c. q. d. |
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